「～なくて」「～ないで」は、いずれも動詞の否定形がテ形をとったもので、どちらを用いてもかまわないように思われる場合も少なくありません。
“～なくて”和“ ～ないで”都是动词的否定形的テ形状态，所以想必有不少人不知道在什么场合用哪个好。
大事に至らないでよかった。
大事に至らなくてよかった。
幸好没酿成大事。（用了“～ないで”）
幸好没酿成大事。（用了“～なくて”）
これは、「～ないで」の表す意味の一部が「～なくて」の表す意味と重なることによるものです。「～ないで」には、次のように大きくわけて三つの用法があるといわれています。
在这里，“～ないで”所表示的意思中有一部分和“～なくて”的意思重合了。“～ないで”如下面大致分了三种用法。
（1）宿題をしないで学校にいった。
（2）宿題をしないでゲームばかりしている。
（3）宿題をしないで怒られた。
（1）没做作业就去学校了。
（2）不做作业老是玩游戏。
（3）因为没做作业被骂了。
（1）~（3）の文では、「～ないで」までが同じ表現となっていますが、「～ないで」より後の内容に対する関係が異なっています。（1）では「宿題をしないで」は、別の行為（「学校に行く」）がどのような状況?事情のもとにおこなわれたかという、他の行為の付帯状況を表しています。
（1）~（3）的句子中，“～ないで”前的表现都是一样的，但是在“～ないで”后的内容与上半句话的关系就有所不同了。（1）中的“不做作业”表明了另一个行为“去学校”是在怎样的一个状态?情况下发生的，表示其他行为的附带状况。
また（2）では、「宿題をする」という行為と「ゲームをする」という行為が対比的に述べられており、「宿題をすべきなのに、代わりにゲームばかりしている」のように言い換えることができます。
另外在（2）中，“做作业”的行为和“玩游戏”的行为形成对比叙述，可以换成这样的说法：“本应该做作业，却一个劲儿玩游戏去了”。
最後の（3）は、「～ないで」が原因を表しているもので、「宿題をしなかったために怒られた」のように言い換えることが可能です。
最后（3）句中的“～ないで”是表明原因的，所以可以换种说法如“不做作业所以被骂了”。
（1）~（3）のうち、（3）の場合には「～ないで」の代わりに「～なくて」が用いられますが、（1）（2）の場合には難しいようです。
（1）~（3）中，表示原因的（3）中“～ないで”可换成“～なくて”，但是表示附带状况和对比叙述的（1）（2）中“～ないで”很难换成“～なくて”。
×宿題をしなくて学校に行った。
×宿題をしなくてゲームばかりしている。
（以上两句均是错误示范）
ご質問の文では、「雨が降らないために晴れた日が続いた」のように「雨が降らない」の部分を「晴れた日が続いた」ことに対する原因と解釈するよりは、「雨が降らない」と「晴れた日が続いた」が対比的に表現されていると考えるのが妥当であり、「～なくて」ではなく「～ないで」が選ばれることになります。
在提问的句子中，“因为没下雨，连续几天都是晴天。”如这句，“不下雨”这部分是对“连续几日晴天”这一现象做出的原因和解释，也可以看做是“不下雨”和“连续几日晴天”之间的对比表现，所以不选“～なくて”，而选择使用“～ないで”。
